8. Удари - School

Закон за запазването на импулса при удари - сборът от импулсите на двете тела преди удара винаги е равен на сбора от импулсите на двете тела след удара

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}$
Удар - процес на пряко физическо взаимодействието между две тела, при което действат огромни сили за много кратко време

а) централен удар
- допирната точка на удара лежи на правата, свързваща центровете на масите на телата
- ударът не води до завъртане на телата
б) пряк удар
- скоростите са насочени противоположно една на друга
в) идеално еластичен удар - освен импулсът се запазва и енергията

$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2}$
- решаване на идеален еластичен удар
$u_{1} = \frac{m _{1} v _{1} - m _{2} v _{1} + 2 m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

$u_{2} = \frac{m _{2} v _{2} + 2 m _{1} v _{1} - m _{1} v _{2}}{m _{2} + m _{1}}$

Доказателство:

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}$

$\frac{m _{1} v _{1}^{2}}{2} + \frac{m _{2} v _{2}^{2}}{2} = \frac{m _{1} u _{1}^{2}}{2} + \frac{m _{2} u _{2}^{2}}{2}$

$m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} u_{1}^{2} + m_{2} u_{2}^{2}$

Изразяваме $u_{1}$ чрез всичко останало от първото уравнение

$u_{1} = v_{1} + \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2} - \frac{m _{2}}{m _{1}} u_{2}$

Заместваме във второто уравнение, така че да остане само едно неизвестно ( $u_{2}$ ).

$m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} (v_{1} + \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2} - \frac{m _{2}}{m _{1}} u_{2})^{2} + m_{2} u_{2}^{2}$

$m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} v_{1}^{2} + \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} v_{2}^{2} + \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} u_{2}^{2} + 2 m_{2} v_{1} v_{2} - 2 m_{2} v_{1} u_{2} - 2 \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} v_{2} u_{2} + m_{2} u_{2}^{2}$

$0 = \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} v_{2}^{2} + \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} u_{2}^{2} + 2 m_{2} v_{1} v_{2} - 2 m_{2} v_{1} u_{2} - 2 \frac{m _{2}^{2}}{m _{1}} v_{2} u_{2} + m_{2} u_{2}^{2} - m_{2} v_{2}^{2}$

$\frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2}^{2} + \frac{m _{2}}{m _{1}} u_{2}^{2} + 2 v_{1} v_{2} - 2 v_{1} u_{2} - 2 \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2} u_{2} + u_{2}^{2} - v_{2}^{2} = 0$

За да избегнем да смятаме дискриминанти, може да се сетим, че $u_{2} = v_{2}$ е решение и да разложим уравнението на $(v_{2} - u_{2}) \cdot$ нещо:

$\frac{m _{2}}{m _{1}} (v_{2} - u_{2})^{2} + 2 v_{1} (v_{2} - u_{2}) + (u_{2} - v_{2}) (u_{2} + v_{2}) = 0$

Делим на $v_{2} - u_{2}$ :

$\frac{m _{2}}{m _{1}} (v_{2} - u_{2}) + 2 v_{1} - u_{2} - v_{2} = 0$

$(\frac{m _{2}}{m _{1}} + 1) u_{2} = \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2} + 2 v_{1} - v_{2}$

$(m_{2} + m_{1}) u_{2} = m_{2} v_{2} + 2 m_{1} v_{1} - m_{1} v_{2}$

$u_{2} = \frac{m _{2} v _{2} + 2 m _{1} v _{1} - m _{1} v _{2}}{m _{2} + m _{1}}$

Връщаме се в първото уравнение, за да намерим $u_{1}$ :

$u_{1} = v_{1} + \frac{m _{2}}{m _{1}} v_{2} - \frac{m _{2}}{m _{1}} \frac{m _{2} v _{2} + 2 m _{1} v _{1} - m _{1} v _{2}}{m _{2} + m _{1}}$

$u_{1} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{1}}{m _{1} + m _{2}} + \frac{m _{2}}{m _{1}} \frac{m _{1} v _{2} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} - \frac{2 m _{2} v _{1}}{m _{2} + m _{1}} - \frac{m _{2}}{m _{1}} \frac{m _{2} v _{2} - m _{1} v _{2}}{m _{2} + m _{1}}$

$u_{1} = \frac{m _{1} v _{1} - m _{2} v _{1}}{m _{1} + m _{2}} + \frac{m _{2}}{m _{1}} \frac{2 m _{1} v _{2}}{m _{1} + m _{2}} = \frac{m _{1} v _{1} - m _{2} v _{1} + 2 m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

г) идеално нееластичен удар - двете тела губят точно толкова енергия, че да започнат да се движат с еднаква скорост

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) u$